Cauchy integral formülü

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin arkasından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorfik bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, bir holomorfik fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Teorem

U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorfik bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z − z₀| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın. C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun. O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı

$f(a) = {1 over 2pi i} oint_C {f(z) over z-a}, dz$

ifadesi doğru olur.

Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir. Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z₀) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorfik fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar. Özellikle, f aslında

$f^{(n)}(a) = {n! over 2pi i} oint_C {f(z) over (z-a)^{n+1}}, dz.$

ile sonsuz kere türevlenebilirdir. Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir.

C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir. Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorfik olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir.

Kanıt taslağı [değiştir]

Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir. f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir. Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki

$oint_C { {1 over z-a} ,dz}$

integrali 2πi 'ye eşittir. Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysa, $z = a + varepsilon e^{it}$ alınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir.

ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin

$left | frac{1}{2 pi i} oint_C { {f(z) over z-a} ,dz} - f(a) right |$

$leq frac{1}{2 pi i} oint_C frac{ |f(z) - f(a)| } {z-a} ,dz rightarrow 0.$

elde edilir.

Örnek

g(z) = z² / (z² + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri.

|z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve

$g(z)={z^2 over z^2+2z+2}$

ele alınsın.

g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir. $z 1 = - 1 + i$ ve $z 2 = - 1 - i$ ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir:

$g(z)={z^2 over (z-z_1)(z-z_2)}.$

Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar. Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z₁ ve z₂ etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu küçük kontürler z₁ ve z₂ için sırasıyla C₁ ve C₂ olsun.

C₁ etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin

$f(z)={z^2 over z-z_2}$

formunda yazılmasına olanak verir. Şimdi

$oint_C {g(z) dz} = oint_C {f(z) over z-a}, dz=2pi i*f(a)$

$oint_{C_1} {left({z^2 over z-z_2}right) over z-z_1},dz=2pi i{z_1^2 over z_1-z_2}.$

olur. Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa

$f(z)={z^2 over z-z_1},$

$oint_{C_2} {left({z^2 over z-z_1}right) over z-z_2},dz=2pi i{z_2^2 over z_2-z_1}.$

elde edilir.

O zaman C kontürü etrafındaki orijinal integral bu iki integralin toplamı olur:

$begin{align}oint_C {z^2 over z^2+2z+2},dz &{}= oint_{C_1} {left({z^2 over z-z_2}right) over z-z_1},dz + oint_{C_2} {left({z^2 over z-z_1}right) over z-z_2},dz &{}= 2pi ileft({z_1^2 over z_1-z_2}+{z_2^2 over z_2-z_1}right) &{}=2pi i(-2) &{}=-4pi i.end{align}$

Sonuçlar

İntegral formülünün geniş bir uygulama alanı vardır. Birincisi, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde holomorfikse, o zaman fonksiyon aynı yerde sonsuz kere türevlenebilirdir. Dahası, analitik bir fonksiyondur yani kuvvet serisi şeklinde temsil edilebilir. Bu ifadenin kanıtı

$f(zeta) = frac{1}{2pi i}int_C frac{f(z)}{z-zeta},dz$

ifadesinde baskın yakınsaklık teoremini ve geometrik seriyi kullanır. Formül aynı zamanda meromorfik fonksiyonların bir sonucu olan kalıntı teoreminin ve ilişkin bir sonuç olan argüman ilkesinin kanıtında kullanılmaktadır. Morera teoremi sayesinde holomorfik fonksiyonların düzgün limitinin de holomorfik olduğu bilinmektedir. Bu sonuç Cauchy integral formülünden de çıkarılabilir: Formül limit içinde ve integrali alınan ifade için de geçerlidir ve bu yüzden integral kuvvet serisi olarak açılabilir. Ayrıca, daha yüksek mertebeden türevler için Cauchy formülü bu türevlerin hepsinin düzgün bir şekilde yakınsadığını gösterir.

Cauchy integral formülünün gerçel analizdeki analoğu harmonik fonksiyonlar için olan Poisson integral formülüdür. Bu bağlamda, holomorfik fonksiyonların özelliklerinin çoğu taşınabilir. Ancak, daha genel türevlenebilir ve gerçel analitik fonksiyonlar sınıfı için artık bunun gibi sonuçlar geçerli değildir. Örneğin, gerçel bir fonksiyonun birinci türevi daha yüksek mertebeden türevlerin varlığını veya fonksiyonun analitikliğini göstermez. Benzer bir şekilde, bir (gerçel) türevlenebilir fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti türevlenebilme özelliğine sahip olmayabilir veya türevlenebilir olur ama bu türev dizinin elemanlarının türevlerinin limiti olmayabilir.

Genelleştirmeler

Pürüzsüz fonksiyonlar

Cauchy integral formülünün bir versiyonu, Stoke teoremine dayandığı için pürüzsüz fonksiyonlar için de geçerlidir. D, C 'de bir disk olsun ve f, D 'nin kapanışında bir sürekli bir şekilde türevlenebilir fonksiyon yani C¹ olan bir fonksiyon olsun. O zaman (Hörmander 1966, Teorem 1.2.1),

$f(zeta,bar{zeta}) = frac{1}{2pi i}int_{partial D} frac{f(z,bar{z})dz}{z-zeta} + frac{1}{2pi i}iint_D frac{partial f}{partial bar{z}}frac{dzwedge dbar{z}}{z-zeta}$

olur. Bu temsil formülü aynı zamanda D içinde, homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemlerini çözmek için de kullanılabilir. Aslında, φ, D içinde fonksiyonsa,

$frac{partial f}{partialbar{z}} = phi(z,bar{z})$

denkleminin özel bir f çözümü

$f(zeta,bar{zeta}) = frac{1}{2pi i}iint_D phi(z,bar{z})frac{dzwedge dbar{z}}{z-zeta}$

tarafından verilir.

Daha ihtimamlı bir şekilde (Hörmander 1966, Teorem 1.2.2), μ, C üzerinde bir tıkız desteğin karmaşık (sonlu) ölçümü olursa, o zaman

$f(zeta,bar{zeta}) = iint frac{dmu(z)}{z-zeta}$

μ 'nün desteği dışında holomorfik bir fonksiyon olur. Dahası açık bir D kümesi üzerinde bir φ ∈ C^k(D) (k≥1) için

$dmu = frac{1}{2pi i}phi dzwedge dbar{z}$

olursa, o zaman $f(zeta,bar{zeta})$ de C^k(D) 'nin içinde yer alır ve

$frac{partial f}{partialbar{z}} = phi(z,bar{z})$

denklemini sağlar.

İlk sonuç, kısaca, Cauchy çekirdeği denilen

$k(z) = frac{1}{z}$

ile tıkız bir şekilde desteklenen ölçümün μ*k(z) girişimi, μ 'nün desteği dışında holomorfik bir fonksiyon olmasıdır. İkinci sonuç ise, Cauchy çekirdeğinin Cauchy-Riemann denklemlerinin temel bir çözümü olduğunu ifade eder.

Çok değişkenler

Çok karmaşık değişkenlerde, Cauchy integral formülü polidisklere genelleştirilebilir (Hörmander 1966, Teorem 2.2.1). D, n tane açık diskin yani D₁, ..., D_n 'nin kartezyen çarpımı olsun:

$D = prod_{i=1}^n D_i.$

f, D 'de holomorfik ve D 'nin kapanışında sürekli olsun. O zaman, ζ=(ζ₁,...,ζ_n) ∈ D olursa aşağıdaki formül elde edilir:

$f(zeta) = frac{1}{(2pi i)^n}intcdotsiint_{partial D_1timesdotstimespartial D_n} frac{f(z_1,dots,z_1)}{(z_1-zeta_1)dots(z_n-zeta_n)}dz_1dots dz_n.$

Rastgele Haberler
Collatz Teoremi Abel Teoremi Bolzano-Weierstrass Teoremi İlginç Diziler Holomorfik fonksiyonlar analitiktir	Gama fonksiyonu Sonsuz Toplamlar Kronecker-Delta fonksiyonu, İnterpolasyon Grup teorisi