Weierstrass-Casorati teoremi

Karmaşık analizde Weierstrass-Casorati teoremi, holomorfik fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

z₀ 'ı içeren, karmaşık düzlemin açık bir altkümesi U ile ve z₀ 'da esaslı tekilliği olan, U − {z₀} üzerinde tanımlı holomorfik bir f fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder:

V, U içinde yer alan,

z 0

'ın bir komşuluğu ise, o zaman f(V − {z₀}) C 'de yoğundur.

Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir:

herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı w için, U 'da öyle bir z karmaşık sayısı vardır ki |z - z₀| < ε ve |f(z) - w| < ε olur.

Teorem büyük ölçüde üstteki gösterimle f 'nin V içinde en fazla bir nokta istisnasıyla tüm karmaşık değerleri sonsuz kere aldığını ifade eden Picard'ın büyük teoremi ile güçlendirilmiştir.

Esaslı tekillik z=0 'da merkezlenmiş exp(1/z) 'nin çizimi. Renk özü karmaşık argumenti gösterirken, parlaklık mutlak değeri göstermektedir. Bu çizim esaslı tekilliğe değişik yönlerden yaklaşmanın nasıl değişik davranışlar verdiğini göstermektedir (özellikle düzgün bir şekilde beyaz renkte olacak kutuplara karşı).

Örnekler

f(z) = exp(1/z), z₀ = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z³ 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır).

$f(z)=e^{frac{1}{z}}$

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan $z = 0$ etrafında şu Laurent serisi vardır.

$f(z)=displaystylesum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!z^{n}}.$

$z neq 0$ olan tüm noktalar için $f'(z) =frac{-e^{frac{1}{z}}}{z^{2}}$ var olduğundan, $f (z)$ 'nin $z = 0$ 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir.

Değişken değiştirme ile kutupsal koordinatlar $z = r e i θ$ 'ya dönersek, fonksiyonumuz $f(z)=e^{frac{1}{z}}$

$f(z)=e^{frac{1}{r}e^{-itheta}}=e^{frac{1}{r}cos(theta)}e^{-i sin(theta)}$

haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak

$left| f(z) right| = left| e^{frac{1}{r}cos theta} right| left| e^{-i sin(theta)} right | =e^{frac{1}{r}cos theta}$

elde ederiz. Bu yüzden, $cosθ > 0$ olan $θ$ değerleri için, $r rightarrow 0$ iken $f(z)rightarrowinfty$ olur ve $cosθ < 0$ için, $r rightarrow 0$ iken $f(z) rightarrow 0$ olur.

Sanal eksene teğet olan $frac{1}{R}$ çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember $r=frac{1}{R}cos theta$ ile verilir. O zaman,

$f(z) = e^{R} left[ cos left( Rtan theta right) - i sin left( Rtan theta right) right]$

$left| f(z) right| = e^{R}$

olur. Bu yüzden, $left| f(z) right|$ uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde $z rightarrow 0$ oldukça, R sabit iken $theta rightarrow frac{pi}{2}$ olur. Denklemin

$left[ cos left( R tan theta right) - i sin left( R tan theta right) right]$

parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır.

Kanıt

Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z₀ komşuluğunda holomorfik olsun ve z₀ esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - {z₀}), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - {z₀}) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - {z₀} üzerinde tanımlı

$g(z) = frac{1}{f(z) - b}$

fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorfik bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - {z₀} üzerinde

$f(z) = frac{1}{g(z)} + b$

olur.

$lim_{z rarr z_0} g(z)$

limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z₀ 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z₀ kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.

Rastgele Haberler
Kronecker-Delta fonksiyonu, Bolzano-Weierstrass Teoremi Taylor serisi Hiç Kısalmadan Kısalan Yol Sayısal analizde Runge-Kutta yöntemleri,	Ceva teoremi Fermatın Son Teoremi Cauchy integral formülü Gödel’in Bir Başka Teoremi Aksiyom