::::Matematikciyiz.com:::

matematiğin en temel teoremlerinden biri.belkide bi insanın matematikçiyim diyebilmesi için bilmesi gereken en önemli teorem.ilk önce bernhard bolzano tarafından ortaya atılıp kendi kitabı olan "Fonksiyonlar" da yer almıştır.ardından tam ispatını  karl weierstrass vermiştir.bu nedenle bulucuna ve ispatını yapana izefeten  bolzano weierstrass teoremi olarak anılır.ilginçtir ; bolzano aslen bir katolik rahibi, weierstrass ise makine mühendisidr. bu bölümde bi süre bu teorem üzerine tartışalım istedim.ilk önce teoremin iddasını verelim sadece;

BOLZANO-WEIRSTRASS TEOREMİ: Reel sayılar kümesinin sınırlı fakat sonsuz elemanlı her alt kümesinin en az bir yığılma mevkii vardır.

bi süre teorem için gerekli olan şu kavramlar üzerine konuşalım:.sınırlı olmak, komşuluk, yığılma noktası  ..bu kelimelerin ne anlama geldiği hakkında fikirlerinizi bekliyorum.

sınırlılık: sınırlılıktan bahsetmek için önce sıralama kavramından bahsetmemiz gerekmektedir.bir kümenin veya bir dizimin elemanları uygun bir sıralama bağıntısıyla tam sıralanmış ise bu küme sıralı bir kümedir denir.şimdi bu kümenin herhangi bir alt kümesi için bu sıralamaya göre öyle bir eleman bulunabiliyorsa ki bu eleman az önceki alt kümenin tüm elemanlarından küçük olabiliyorsa bu elemana o küme için bir alt sınır denir.şayet bu kavrama uyan alt sınırlar arasında bir en büyüğü varsa özel olarak bu elemana infimum adı verilir.bu tanıma göre alt sınırı mevcut olan kümeye de alttan sınırlı küme denir.  aynı şekilde bu alt kümenin tüm elemanlarından büyük olabilen bi eleman bulunabiliyorsa bu elemana o kümenin bir üst sınırı adı verilir.ve bu tanıma uyan üst sınırlar arasında varsa bir en küçüğü buna da supremum adı verilir şu halde bir üst sınırı olan kümeye de üstten sınırlı küme adı verilir.o zaman hem alttan hem üsttten sınırlı bir kümeye de sınırlı küme adı verilir.

   şı halde reel sayılar cismi sıralı bi cisim olduğuna göre bu cisim üzerinde sınırlılık kavramından söz edilebir.örneğin  (3,5)  reel sayıların alt kümesi için 2 bir alt sınır  zira 3 de bir alt sınır olup 3 bu kümenin infimumudur.aynı şekilde  6 bu küme için bir üst sınır zira 5 de bu küme için bir üst sınır olup 5 supremumdur.o zaman bu küme sınırlı bir kümedir.ancak  (3,∞) kümesi için bir üst sınır bulunamayacağından bu küme sınırsız bir kümedir.