::::Matematikciyiz.com:::

Şu beş terimlik diziye bir göz atın: 2,1,2,0,0.

Gerçekten ilginç bir dizi… Madem öyle, bu tür dizilere ilginç dizi diyelim. Yani a_o, a₁, …, a_n dizisinin terimleri,

a_i = dizideki i’lerin sayısı

eşitliğini sağlıyorsa, diziye ilginç dizi diyelim.

Görüldüğü gibi, bir ilginç dizinin terimleri, oluşturdukları ilginç diziden sözediyorlar! Yani bu dizi kendi kendinden sözediyor…

İşte bütün sonlu ilginç diziler:

(2,0,2,0)

(1,2,1,0)

(2,1,2,0,0)

(3,2,1,1,0,0,0)

(4,2,1,0,1,0,0,0)

(5,2,1,0,0,1,0,0,0)

(6,2,1,0,0,0,1,0,0,0)

(7,2,1,0,0,0,0,1,0,0,0)

………

(10,2,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0)

………

Bu böylece sonsuza dek sürer. Yani sonsuz tane sonlu ilginç dizi vardır.

Ve bunlardan başka sonlu ilginç dizi yoktur. Altı terimli (yani 6 uzunluğunda) ilginç dizinin olmaması ilginç dizilerin (belki de 6 sayısının) bir başka ilginç yönü[1].

Başka sonlu ilginç dizinin olmadığı Herb R. Bailey ve Roger G. Lautzenheiser adlı iki matematikçi tarafından kanıtlanmıştır [11]. Bir sayfalık kanıtı bu yazıya almayacağım. Bu yazıda ilginç diziler üzerine iki olgu kanıtlamakla yetineceğim. Bu iki olgu az terimli ilginç dizilerin bulunmasına yardımcı olabilir.

Birinci Olgu. a_o, a₁,…,a_n bir ilginç dizi olsun. Dizide n + 1 tane sayı var. İlginç dizinin tanımından dolayı,

a_o = dizideki 0’ların sayısı

a₁ = dizideki 1’lerin sayısı

……………………

a_n = dizideki n’lerin sayısı

eşitlikleri geçerlidir. Eşitliğin solundaki ve sağındaki sayıları toplayalım. Sol tarafta

a_o + a₁ + … + a_n

buluruz elbette. Sağ taraftaki sayıları toplarsak, dizinin terim sayısını, yani n + 1, buluruz. Birinci olguyu kanıtladık:

a_o + a₁ + … + a_n = n + 1

İkinci Olgu. İkinci olgumuzu kanıtlamak için dizinin terimlerinin toplamını, yani a_o + a₁ + … + a_n sayısını başka türlü hesaplayacağız. Önce dizideki sıfırları toplayalım! Sıfırlar toplanınca sıfır elde edilir elbet, yani 0 ´ a_o elde edilir. Şimdi de birleri toplayalım. a₁ tane 1 olduğunu biliyoruz. Demek ki birlerin toplamı a₁ ´ 1’dir. İkileri toplayalım. a₂ tane 2 olduğunu biliyoruz, demek ki ikilerin toplamı a₂ ´ 2’dir…

Dizideki sıfırların toplamı       =   0 ´ a_o

Dizideki birlerin toplamı        =   1 ´ a₁

Dizideki ikilerin toplamı         =   2 ´ a₂

……………

Dizideki n’lerin toplamı         =   n ´ a_n.

Demek ki dizideki sayıların toplamı, yani a_o + a₁ + … + a_n sayısı, sağdaki sayıların toplamına, yani 0´a_o + 1´a₁ + … + n´a_n sayısına eşit. Birinci eşitlik de gözönüne alınınca,

0´a_o + 1´a₁ + … + n´a_n = a_o + a₁ + … + a_n = n + 1

eşitliği bulunur.

Bu iki olgu kullanılarak uzunluğu 7 yada küçük diziler biraz hesapla kolaylıkla bulunur.

İlginç diziler hakkında daha fazla bilgi için [11]’e başvurabilirsiniz.