::::Matematikciyiz.com:::

Doğal sayılar kümesi, yani 0, 1, 2, 3 gibi tamsayıları içeren küme N simgesiyle gösterilir:

N = {0, 1, 2, 3,…}

f(x) = 2x göndermesi (fonksiyonu, kuralı, adını siz koyun), bir doğal sayıyı bir başka doğal sayıya gönderir (2’yle çarpar). Örneğin,

f(0) = 0

f(1) = 2

f(2) = 4

f(5) = 10

Bu f göndermesinin şu özelliği vardır: x ve y hangi doğal sayı olurlarsa olsunlar,

f(x + y) = f(x) + f(y)

eşitliği doğrudur, çünkü,

 f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)

eşitlikleri geçerlidir.

Birinci Soru: f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlayan tüm f: N ® N göndermelerini bulun.

Bu soru her matematik bölümünde, hatta kimi zaman birinci yılda, yanıtlanır. Biz de yanıtlayalım.

Teorem: Eğer, f: N ® N göndermesi, her x ve y için f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğini sağlıyorsa, öyle bir a doğal sayısı vardır ki, her x için, f(x) = ax eşitliği geçerlidir.

Kanıt: Her şeyden önce f(0) = 0 eşitliğini kanıtlayalım:

f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)

eşitliklerinden, f(0) = 0 çıkar.

Şimdi f(1)’e a diyelim: f(1) = a. Dedik! Herhangi bir x doğal sayısı alalım. f(x) = ax eşitliğini kanıtlamak istiyoruz. Kanıtlayalım:

Eğer x = 0 ise, ax = a0 = 0 = f(0) = f(x) ve bu durumda f(x) = ax eşitliği doğru.

Eğer x = 1 ise, ax = a1 = a = f(1) = f(x) ve bu durumda f(x) = ax eşitliği gene doğru.

Ya x = 2 ise? O zaman da doğru:

f(x) = f(2) = f(1+1) = f(1)+f(1) = a+a = 2a = a2 = ax.

Şimdi x = 3 olsun:

f(x) = f(3) = f(2+1) = f(2)+f(1) = a2+a = a3 = ax.

Eşitlik gene doğru.

Tümevarımla[1], f(x) = ax eşitliğinin her zaman doğru olduğu kanıtlanabilir.

Bir başka “kanıt” da şöyle yapılabilir. x’i, x tane 1’in toplamı olarak yazalım:

x = 1 + 1 + … + 1

ve bu eşitliğe f’yi uygulayalım:

f(x) = f(1 + 1 + … + 1)

Sağ taraftaki sayıyı hesaplayabiliriz:

f(1 + 1 + … + 1) = f(1) + f(1) + … + f(1) = a + a + … + a = ax.

Dilediğimizi kanıtladık, demek ki f(x) = ax imiş…

İkinci Soru: N^* = N \ {0} = {1, 2, 3, 4,…} kümesi olsun. Her x ve y için, f(xy) = f(x) f(y) eşitliğini sağlayan tüm f: N^* ® N^* göndermelerini bulun.

Bu sorunun yanıtının da matematik bölümlerinde görülmesi gerekmektedir.

Her şeyden önce, f(1) = f(1^.1) = f(1)f(1) eşitliliklerinden dolayı, f(1) = 1 olmalıdır.

Şimdi f’nin öbür sayılarda aldığı değerleri bulalım.

f(xy) = f(x) f(y) eşitliğinden, f(xyz) = f(x)f(y)f(z) eşitliği de çıkar. Hatta daha genel olarak,

f(x₁ x₂… x_n) = f(x₁) f(x₂)… f(x_n)

eşitliği doğrudur. Örneğin,

f(30) = f(2´3´5) = f(2)f(3)f(5)

f(60) = f(2´2´3´5) = f(2)f(2)f(3)f(5)

eşitlikleri doğrudur. Dolayısıyla, f göndermesinin asal sayılarda aldığı değerleri bilirsek, f’nin her sayıda aldığı değeri bulabiliriz. Yani,

f(2), f(3), f(5), f(7), f(11), f(13),…

sayılarını bilmemiz gerekiyor.

f göndermesi asal sayılarda hangi değeri alabilir? Her değeri alabilir. Bu değerler üzerine herhangi bir koşul koymaya hakkımız yok. Örneğin, f göndermesi, bir asal sayıyı bir sonraki sayıya yolluyorsa, yani,

f(2) = 3

f(3) = 4

f(5) = 6

f(7) = 8

f(11) = 12

…

ise,

f(60) = f(2´2´3´5) = f(2)f(2)f(3)f(5) = 3´3´4´6 = 216

dır.

Demek ki, her x ve y için, f(xy) = f(x)f(y) eşitliğini sağlayan f: N^* ® N^* göndermeleri, f’nin asallarda aldığı değerler tarafından belirleniyor. Bu göndermeler hakkında başka bir şey söyleyemeyiz. Daha matematiksel bir deyişle, bulmaya çalıştığımız göndermeler kümesiyle, asal sayılardan N* kümesine giden göndermeler arasında birebir bir eşleşme vardır.

Üçüncü Soru: Her x ve y için, f(x^y) = f(x)^f(y) eşitliğini sağlayan tüm f: N^* ® N^* göndermelerini bulalım.

Aşağıdaki eşitliğe gözatın:

f(x) ^{f(y) f(z)} = (f(x) ^f(y))^f(z) = f(x^y) ^f(z) = f((x^y)^z) = f(x^yz) = f(x) ^f(yz)

Eğer, bir x için f(x) ¹ 1 ise, yukardaki eşitlikten, her y ve z için,

f(yz) = f(y)f(z)

çıkar. İkinci soruda bu göndermelerin asal sayılarda aldıkları değerler tarafından belirlendiğini kanıtlamıştık. (Ama bu son tümcenin hiç mi hiç önemi yok bizim için. Devam edelim.)

f(x) ^f(n) = f(xⁿ) = f(xx…x) = f(x) f(x)… f(x) = f(x)ⁿ.

Demek ki, f(n) = n.

Sonuç olarak, yukardaki koşulu sağlayan iki gönderme vardır:

1) Her n için f(n) = 1 ve

2) Her n için f(n) = n.

Bu tür göndermelere matematikte “eşyapı göndermeleri” denir.

Dileyen okur, her x için f(x^x) = f(x)^x koşulunu sağlayan göndermelere bakabilir, ben bakmadım!