Evrensel cebir

Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim $A$ ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir $Σ = { + , * }$ .

$+:: A times A rightarrow A$

$*:: A times A rightarrow A$

$0:: rightarrow A$

$1:: rightarrow A$

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

0 + x = x

x + y = y + x

(x + y) + z = x + (y + z)

x * 1 = x

x * y = y * x

(x * y) * z = x * (y * z)

Yukardaki imza $Σ$ bir cebir doğasal sayılardır $N (mathbb{N}, +^N, *^N, 0^N, 1^N)$ . Burada $+ N$ bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki $E$ adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy") $N models E$ . Başka bir deyimle, N yapısı E’nin bir modelidir.

E’nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım. $B = ({a, b}, + B, * B,0 B,1 B)$

$0^B mapsto a$

$1^B mapsto b$

$a +^B a mapsto a$

$a +^B b mapsto b$

$b +^B a mapsto b$

$b +^B b mapsto b$

$a *^B a mapsto a$

$a *^B b mapsto a$

$b *^B a mapsto a$

$b *^B b mapsto b$

Bunun bir model olduğunu (yani $B models E$ ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

Bir eşitlikler birimini $E$ nin modeli var mıdır?
E’nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
E’nin modelleri, E’den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela

x = 1 * x

eşitliği, yukardaki

E

nin bir neticesidir. $E models x = 1*x$ yazarak bunu ifade ederiz.

${ s = t | E models s=t }$ birimine "E’nin teorisi" denil

Rastgele Haberler
Çözülüm Teorem İspatlama Stolz-Cesàro teoremi Fermat'nın son teoremi Küme Kuramının Teoremi Aritmetiğin Temel Teoremi	Rieman Toplamı Ceva teoremi Olasılık Hesapları (2) Pisagor teoremi Kronecker-Delta fonksiyonu,