Önermeler Mantığı

Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:

Tanımlanmamış terimler
Tanımlar
Türetme kuralları
Aksiyomlardır
Teoremler

Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir.

Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.

Önerme

Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:

Bugün hava güneşlidir.
3 asal sayıdır.
Duygu 21 yaşındadır.
3 asal sayı değildir.
Duygu 21 yaşında değildir.

Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.

Değilleme

Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.

Örnek: "bu gün günlerden salı: bu gün günlerden salı degil

Birleşim

İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.

Örnek: “bugün gemiler 9′da ve 10.da sefer yapacak.”

Ayrılım

İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.

Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş’tan ziyaretçiler gelecek.”

Şartlı cümle

Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.

Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.”

Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz.

Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.”

Çift şartlı önermeler

Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.

Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.”

Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”

Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).

Mantıksal bağlar

Mantıksal bağlar şu sembollerle gösterilir:

$neg$ : değil
$land$ : ve
$lor$ : veya
$to$ : eğer-ise
$leftrightarrow$ : eğer ancak-ise

Böylece şu ifadeler, önermesel formüller olacaktır:

$neg P$ , $P land Q$ , $P lor Q$ , $P to Q$ , $P leftrightarrow Q$

Örnek: "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir."

P: Sendika inada devam eder
Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder
R: Grev önlenir
S: Hükümet kararname çıkartır
T: Hükümet fabrikaya polis göndermez

$(P lor Q) to (R leftrightarrow S land T)$

Rastgele Haberler
Asal Sayılar sonsuz tanedir Bolzano-Weierstrass Teoremi Kategori teorisi Max Noether teoremi Gama fonksiyonu	Aksiyom Kronecker-Delta fonksiyonu, Cauchy integral formülü Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme Şansı Kategori teorisi