Fourier Dönüşümü

Fourier Dönüşümü,

$F(k)=frac{1}{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty f(x) e^{-imath kx} dx$ , $f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(k) e^{imath kx} dk$ şeklinde verilen birbirine dik x ve k uzayları arasındaki dönüşümdür. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler.

K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür.

Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtulursa: $f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty left(frac{1}{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty f(x') e^{-imath kx'} dx'right) e^{imath kx} dk$ , $f(x)=frac{1}{2pi}intlimits_{-infty}^inftyleft(intlimits_{-infty}^infty e^{ik(x-x')} dkright)f(x') dx'$ Parantez içindeki ifadenin $2pidelta(x-x'),$ olduğu görülür.

Anlaşıldığı üzere $f(x)mapsto F(k)$ eşlemesine Fourier Dönüşümü, $F(k)mapsto f(x)$ eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır

Rastgele Haberler
Max Noether teoremi Bolzano-Weierstrass Teoremi Morera teoremi Normal diferansiyel denklemler Euler teoremi	İlginç Diziler Hipotez Testi Sonsuz Toplamlar İnterpolasyon Kalıntı teoremi