İntegral

İntegral, verilen bir f(x) fonksiyonunu türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun integrali veya ilkeli denir. İntegral, Latince toplam kelimesinin ("summa") baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş hali olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu işaret Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

$F(x) = int f(x)+ c,$

c bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

$S = lim_{Delta x to 0}sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) Delta x_{i} = int_a^b f(x),dx = F(b)-F(a)$

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.

Köken

Dilimize İngilizceden veya Fransızcadan geçmiş integral sözcüğü "bütüne ait olan" anlamına gelir ve İngilizceye Orta Fransızca intégral sözcüğünden; Orta Latince integralis (tüm yapmak, tümlemek) sözcüğünden; Latince integer (tüm, bütün, tam) sözcüğünden gelmiştir. Ayrıca integer sözcüğü tam sayı terimine karşılık olarak İngilizceye geçmiştir^[1].

Türkçede tümlev sözcüğü, Osmanlıca mütemmem ile tamamî sözcüklerinin ve İngilizcedeki integral sözcüğünün anlamını karşılamak için türetilmiştir^[2]. tümlev sözcüğü, "tümlenmiş şey" anlamına gelir. İsimden fiil yapan /-ev,-av/ yapım ekiyle kullanımda olan tümle[mek] fiilinden; isimden fiil yapan /-le[mek]/ yapım ekiyle muhtemelen Öz Türkçe *tüm (bknz. tümen) kökünden türetilmiştir.

Osmanlıcada mütemmem sözcüğü kullanılmış (Arapçadaki *tm (tam) kökünden gelir) ancak Arapçada şu anda "olgun, evrimleşmiş, bütünleşmiş" anlamındaki tekâmül [3] sözcüğü kullanılmaktadır(kâmil, mükemmel, küme ile aynı kökten: *kml)^[3].

İntegral alma yöntemleri

Değişken değiştirme

Basit fonksiyonların integrallari

Rasyonel fonksiyonlar

$int dx = x + C$

$int x^n,{rm d}x = frac{x^{n+1}}{n+1} + Cqquadmbox{ eğer }n ne -1$

$int {dx over x} = ln{left|xright|} + C$

$int {dx over {a^2+x^2}} = {1 over a}arctan {x over a} + C$

İrrasyonel fonksiyonlar

$int {dx over sqrt{a^2-x^2}} = sin^{-1} {x over a} + C$

$int {-dx over sqrt{a^2-x^2}} = cos^{-1} {x over a} + C$

$int {dx over x sqrt{x^2-a^2}} = {1 over a} sec^{-1} {|x| over a} + C$

Logaritmik fonksiyonlar

$int ln(x) ,dx = x ln(x) - x + C,$

$int log_b {x},dx = xlog_b {x} - xlog_b {e} + C$

Üslü fonksiyonlar

$int e^x,dx = e^x + C$

$int a^x,dx = frac{a^x}{ln{a}} + C$

Trigonometrik fonksyionlar

$int sin{x}, dx = -cos{x} + C$

$int cos{x}, dx = sin{x} + C$

$int tan{x} , dx = -ln{left| cos {x} right|} + C$

$int cot{x} , dx = ln{left| sin{x} right|} + C$

$int sec{x} , dx = ln{left| sec{x} + tan{x}right|} + C$

$int csc{x} , dx = ln{left| csc{x} - cot{x}right|} + C$

$int sec^2 x , dx = tan x + C$

$int csc^2 x , dx = -cot x + C$

$int sec{x} , tan{x} , dx = sec{x} + C$

$int csc{x} , cot{x} , dx = - csc{x} + C$

$int sin^2 x , dx = frac{1}{2}(x - sin x cos x) + C$

$int cos^2 x , dx = frac{1}{2}(x + sin x cos x) + C$

$int sec^3 x , dx = frac{1}{2}sec x tan x + frac{1}{2}ln|sec x + tan x| + C$

$int sin^n x , dx = - frac{sin^{n-1} {x} cos {x}}{n} + frac{n-1}{n} int sin^{n-2}{x} , dx$

$int cos^n x , dx = frac{cos^{n-1} {x} sin {x}}{n} + frac{n-1}{n} int cos^{n-2}{x} , dx$

$int arctan{x} , dx = x , arctan{x} - frac{1}{2} ln{left| 1 + x^2right|} + C$

Hiperbolik fonksiyonlar

$int sinh x , dx = cosh x + C$

$int cosh x , dx = sinh x + C$

$int tanh x , dx = ln| cosh x | + C$

$int mbox{csch},x , dx = lnleft| tanh {x over2}right| + C$

$int mbox{sech},x , dx = arctan(sinh x) + C$

$int coth x , dx = ln| sinh x | + C$

$int mbox{sech}^2 x, dx = tanh x + C$

Ters hiperbolik fonksiyonlar

$int operatorname{arcsinh} x , dx = x operatorname{arcsinh} x - sqrt{x^2+1} + C$

$int operatorname{arccosh} x , dx = x operatorname{arccosh} x - sqrt{x^2-1} + C$

$int operatorname{arctanh} x , dx = x operatorname{arctanh} x + frac{1}{2}log{(1-x^2)} + C$

$int operatorname{arccsch},x , dx = x operatorname{arccsch} x+ log{left[xleft(sqrt{1+frac{1}{x^2}} + 1right)right]} + C$

$int operatorname{arcsech},x , dx = x operatorname{arcsech} x- arctan{left(frac{x}{x-1}sqrt{frac{1-x}{1+x}}right)} + C$

$int operatorname{arccoth},x , dx = x operatorname{arccoth} x+ frac{1}{2}log{(x^2-1)} + C$

Rastgele Haberler
Diziler Seriler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Logaritma ÇARPANLARA AYIRMA KARIŞIM PROBLEMLERİ	Türev MUTLAK DEĞER SAYI SİSTEMLERİ ÜSLÜ İFADELER MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME