::::Matematikciyiz.com:::

Bir böcek gözünde çok küçük çapta çok sayıda küçük çaplı petekler veya az sayıda daha büyük çapta petekler birarada olabilir. Acaba peteklerin büyüklüğü için optimum bir değer var mıdır? Bu kadar mükemmel görme organları tesadüfen oluşamayacağına göre, bu sorunun cevabını matematik ve fizik prensipleri yardımıyla araştırmaya çalışalım.
Yapısından da anlaşılabileceği gibi her bir petek küçük bir ışık noktacığını görebilmektedir. Bir böceğin birbirinden farklı, iki küçük ışık kaynağına baktığını farzedelim (Şekil 1-c). Bu iki ışık kaynağının birbirinden ayırt edilebilmesi için, aydınlanan iki petek arasında karanlık bir petek kalmalıdır (Şekil 1-b). Işık kaynakları arasındaki açı, a ise bu durumda bitişik iki petek arasındaki açı bu açının yarısı olmalıdır. Eğer göz D çapında bir yarım küre olarak kabul edilirse, peteklerin dış yüzeydeki çapları da d olursa, komşu iki petek eksenleri arasındaki açı 2d/D radyan olur. Işık kaynaklarının ayırt edilebilmesi için olması gereken şart ise; a4d/D olmalıdır. Eğer petek çapını küçültürsek; a açısı küçüleceği için daha net bir görüntü elde edilebilecektir. Ancak petek çapının küçüklüğü için tabiî bir sınır vardır. Küçük bir delikten geçen ışık az bir miktar dağılır. Bu durum petek gözlerin ve mikroskop gibi optik âletlerin çözünürlüğünü sınırlar. d çaplı bir delikten geçen l dalgaboylu bir ışığın iki farklı cismin ayrışık görüntüsünü oluşturabilmesi için, cisimlerin, 1,2l/d radyanlık açıdan daha yakın durmamaları gerekir. Benzer şekilde Şekil 1-b'deki iki aydınlanan petek arasındaki aydınlanmayan peteğin parlak cisimlerden ışığı alamaması için a/21,2l/d olmalıdır (Bu aydınlanmayan peteğin ekseni her iki cismin doğrultusu ile a/2 açısı yapmaktadır). Şekil 2'de l=0,5 mm dalgaboylu bir ışık ve D=2,4 mm göz çapı için her iki kriter kullanılarak değişik petek çaplarına karşılık gelen açılar hesaplanmıştır. Her iki eğrinin üstündeki kesişim bölgesi uygun çözüm bölgesidir. a açısını en küçük yapacak çözüm kesişim noktasındadır ve 27 mm petek çapına karşılık gelmektedir. 2.4 mm göz çapı apis mellifera isimli balarısına aittir ve bu arı için petek çapı 21 mm olarak ölçülmüştür. Aradaki farkın teorik hatalardan (modellemedeki basitleştirmelerden) kaynaklandığı tahmin edilmektedir.

Yukarıda bulduğumuz iki kriteri birbirine eşitlersek, optimum petek çapı aşağıdaki gibi elde edilir. dopt= (O,6 lD)1/2

Şekil 2-b'de bu optimum değerler göz çapının kareköküne karşılık olarak çizilmiştir ve bir doğru verir. Noktalar ise çeşitli yabanî ve bal arılarına ait değerleri temsil etmektedir. Grafikte l mm'den daha kısa yaban arılarından (D=0,2 mm), 60 mm uzunluğundaki dev tropik arılarına kadar (D=5 mm) değişik türler yer almıştır. Grafikteki dağılımdan teori ile pratiğin uyumlu olduğu sonucu çıkarılabilir. Küçük cinslerde petek çapının teorik değerin biraz üzerinde olması, büyük türlerde ise daha düşük olması hesaba katılmayan bazı faktörlerden dolayıdır.

Yapılan hesaplamalar göstermektedir ki, petek çapları böceklerin en mükemmel şekilde görebilmesi için ayarlanmıştır. Arının sadece yaptığı bal ve mühendislik harikası kovanı değil, gözünden kanadına kadar bütün organlarının en ince parçasına kadar mükemmel bir projeye ve dizayna sahip olduğunu açık olarak görmekteyiz. Çoğumuzun aklının ermediği bu mükemmel matematik denk-lemlerini, arı kendisi kurmuş olabilir mi? Şuursuz ve serseri tesadüfler, art arda gelerek bu mükemmelliği yaratabilir mi?

Kaynak
-R. McNeill Alexander, Optima for Animals, Princeton University Press, 1996.