Matematik Olıimpiyatları soruları

1. SİVAS MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI

1. eşitliği x değişkeninin tüm değerlerinde sağlanıyorsa a, b, c ve d sabitlerini bulunuz.
2. Şekilde verilen dikdörtgen karelere bölünmüştür.

Taralı karenin kenarı 1 br olduğuna göre

diğer karelerin kenarlarını bulunuz.

3. a ve b verilen gerçel sayılar olmak üzere ;

denklem sistemini çözünüz.

4. Dik üçgende dik kenarların uzunlukları çarpımının iç teğet çemberin hipotenüsten ayırdığı parçaların çarpımının iki katına eşit olduğunu gösteriniz.

5. ABCD birim kare olmak üzere AB ve AD kenarları üzerinde sırasıyla P ve Q noktaları, APQ üçgeninin çevresi 2 br olacak şekilde seçilmiştir. açısını bulunuz.

6. a, b, c birer negatif olmayan reel (gerçel) sayılar olmak üzere

eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

7. İkizkenar üçgenin açıları arasında bağıntısı olduğuna göre bu açıları bulunuz.
8. Çember üzerine yerleştirilen n tane doğal sayılardan her biri için komşu sayıların toplamının bu sayıya oranı şeklinde oluşturulan tüm sayıların toplamının 2n den küçük olmadığını gösteriniz.
9. denkleminin her bir gerçel kökünün çarpıma göre tersi ;

denkleminin de bir köküdür. Kanıtlayınız.

10. x, y gerçel ve

olmak üzere

denklemini sağlayan tüm (x,y) ikililerini bulunuz.
11. A sayısı 10 tabanına göre bütün rakamları 1 olan 2k basamaklı bir sayı, B sayısı ise bütün rakamları 4 olan k basamaklı bir sayı ise ’ in tamsayı olacağını gösteriniz.
12. ABC açısı ve bu açının içinde bir D noktası verilmiş olsun Uç noktaları AB ve CB kenarları üzerinde ve orta noktası D olan doğru parçasını çiziniz.

(Çizimin yorumu açıkca yazılacaktır)

13. Köşegenleri dik olan ikizkenar yamuğun alanının onun yüksekliğinin karesine eşit olduğunu gösteriniz.
14. x, y, z birbirinden farklı reel (gerçel) sayılardır. ve olduğuna göre toplamının değerini bulunuz.
15. Şekildeki ABC üçgeninde EF//AB , KN//BC , PQ//AC ve

, ve

olduğuna göre A(ABC) alanını bulunuz.

16.Alt taban açıları toplamı olan yamuğun alt ve üst tabanlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası ile köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının eşit uzunluklu olduğunu gösteriniz.

17. Her bir gerçel x sayısı için eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.
18.

eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarından en az birinin a’ ya eşit olduğunu gösteriniz.19. ABC üçgeninde BP ve CT açıortayları O noktasında kesişmektedirler. A, P, O ve T noktaları aynı çemberin üzerinde olduğuna göre A açısını bulunuz.

20. ABC bir üçgen, , , , olduğuna göre açısı kaç derecedir.