Türev
(Türev, Video Anlatımları) başlığı altına -WebMaster- tarafından 31-08-2008 de eklendi

Özel Arama

http://video.google.com/videoplay?docid=-5429261832726317958

Genel fonksiyonların türevi
(Türev) başlığı altına -WebMaster- tarafından 02-12-2007 de eklendi

 

Genel fonksiyonların Türev Kuralları

Temel Kurallar
\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({f - g}\right)' = f' - g'
Çarpım Kuralı
\left({fg}\right)' = f'g + fg'
\left({fgh}\right)'= f'gh+fg'h+fgh'
Bölüm Kuralı
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
Üst kuralı
(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0
Zincir kuralı
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
Logaritma kuralı
f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0

Basit Fonksiyonların Türevleri [değiştir]

{d \over dx} c =0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} cx = c
{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
{d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{ } x^c \mbox{ ve } cx^{c-1} \mbox { tanimli oldugunda}
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Üstel Fonksiyonların ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri

{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0
{d \over dx} e^x = e^x
{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1
{d \over dx} \ln x = {1 \over x}
{d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)

Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri

{d \over dx} \sin x = \cos x
{d \over dx} \cos x = -\sin x
{d \over dx} \tan x = \sec^2 x
{d \over dx} \sec x = \tan x \sec x
{d \over dx} \cot x = -\csc^2 x
{d \over dx} \csc x = -\csc x \cot x
{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arccsc x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri [değiştir]

{d \over dx} \sinh x = \cosh x
{d \over dx} \cosh x = \sinh x
{d \over dx} \tanh x = \mbox{sech}^2 x
{d \over dx} \mbox{sech} x = - \tanh x \mbox{sech} x
{d \over dx} \mbox{coth} x = - \mbox{csch}^2 x
{d \over dx} \mbox{csch} x = - \mbox{coth} x \mbox{csch} x
{d \over dx} \mbox{arcsinh} x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx} \mbox{arccosh} x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \mbox{arctanh} x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx} \mbox{arcsech} x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \mbox{arccoth} x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx} \mbox{arccsch} x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}
Türev
(Türev) başlığı altına BLACK tarafından 19-11-2007 de eklendi

Diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevi

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f’ sembolüyle gösterilir. Ayrıca

\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)

formülü de bu durumu ifade etmek için kullanılır..

 

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri

  • Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için f(x) = xn fonksiyonu,

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Bu eşitlik Binom Teoremi‘nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )

\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)

ex fonksiyonu,

\frac{d}{dx}e^x=e^x

Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar [değiştir]

  • Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0′da türevi tanımlayan

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

  • \sqrt[3]{x} fonksiyonu da 0′da türevli olmayıp başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0′da türevlenebilir olmayışının nedeni

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0+h}-\sqrt[3]{0}}{h}

limitinin \infty, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, \sqrt[3]{x} fonksiyonunun grafiği 0′da da kırılmasızdır. Yazının Devamını Oku »