İntegral
(Video Anlatımları, İntegral) başlığı altına -WebMaster- tarafından 31-08-2008 de eklendi

Özel Arama

http://video.google.com/videoplay?docid=-3560019114031212312

Belirli İntegral
(İntegral) başlığı altına BLACK tarafından 19-11-2007 de eklendi

f(x)'in a dan b'ye kadar olan integrali, y=f(x) fonsiyonunun a ile b arasındaki alanıdır.

 

f(x)’in a dan b’ye kadar olan integrali, y=f(x) fonsiyonunun a ile b arasındaki alanıdır. İntegral, verilen bir f(x) göndermesini türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) göndermesine f(x) göndermesinin integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi s’nin biraz evrim geçirmiş hali olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

F(x) = \int f(x)\,dx + C

C bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder. Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

S = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır. Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar. Riemann‘dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir

Rasyonel Fonksiyonlar [değiştir]

\int \,{\rm d}x = x + C
\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

İrrasyonel Fonksiyonlar [değiştir]

\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C

Logaritmik Fonksiyonlar [değiştir]

\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

Üslü Fonksiyonlar [değiştir]

\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Trigonometrik Fonksyionlar [değiştir]

\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

Hiperbolik Fonksiyonlar [değiştir]

\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C
\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C

Ters Hiperbolik Fonksiyonlar [değiştir]

\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C
\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C
Belirli İntegral
(İntegral) başlığı altına BLACK tarafından 19-11-2007 de eklendi

Tanım:Bir [a.b] kapalı aralığının a=X <X <…<X <X =b özelliğini sağlayan her

            P={ X , X ,… X ,X }

Sonlu alt cümlesine bu aralığın bir parçalanmışı denir ve her i=1.2…n için

 

K =[ X ,X ] aralıklarına P parçalanmasının kapalı kısmı alt aralıkları ve X  bu noktaların da     parçalanışın ayırma noktaları adı verilir.

 

f.[a.b] kapalı aralığında tanımlı sınırlı reel değerli bir fonksiyon olsun.[a.b] aralığı.P parçalanmasındaki  K alt aralıklarının uzunluğunun

               X = X  X

ile gösterelim.f nin K deki en küçük üst sınırı (sup’u) ve en büyük alt sınırı (inti) sırası ile M                   

ve m  olsun yani

                        SUP X K f(x)=M                   X=K f f(x)= m

Olsun.şimdi şu toplamları oluşturalım:

1)- A(P.f)= m X

2)- Ü(P.f)= M X

            [a.b] aralığının bütün mümkün olan P parçalanışların Q cümlesini gözönüne alalım.Her P=Q için (1) ve(2) toplamları birer reel sayı belirtir.P Q’ yi taradığında A(P.f) ve Ü(P.f) toplamları birer reel sayı cümlesi meydana getirirler.Bu sayı cümlelerinin sırasıyla supu ve infi varsa.

            SUP A(P.f)= f(x)dx

            inf Ü(P.f)= f(x)dx

ile gösterilir.Bu sayılar sırasıyla f fonksiyonunun [a.b] aralığındaki alt ve üst Riemanın integrali adı verilir.

            f(x)dx= f(x)dx           

ise f fonksiyonu [a.b] aralığı üzerinde Riemann anlamında intergrallenebilirdir denir.

                f(x dx= fcx dx=  fcx dx    

sayısına f fonksiyonun a dan b ye kadar integrali adı verilir.

Tanım:K =[ X ,X ] alt aralıklarından uzunluğu en büyük olanına P nin normu denir ve (P) ile gösterilir.

            1 i n için t,t[x....x] olmak üzere.

            S(P.f)= f(t ) x

İfadesine f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen Riemann toplamı denir.

            m x=A(P.f) S(P.f) Ü(P.f)= M X

 

olduğundan f fonksiyonunun Riemann integralinin varolması için gerek ve yeter koşul

            lim (M-m) =0

dır.o zaman supA(P.f)=infÜ(P.f) olacağından Riemann anlamından ıntergal mevcuttur.Buna göre şu tanımı verebiliriz.

Tanım:Her t t[X ,X ] için,

 

                 

f (t ) x  sayısına f in riemann integrali denir ve f (x)dx ile gösterilir. Buna göre

f (x)dx = f (t ) x  dir.

Şimdi belirsiz integral ile belirli integral daha açıkçası anti – türev ile belirli integral arasındaki ilişkiyi belirten ve integral hesabını esas teoremi olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi veriyoruz.

Teorem: bir f fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı riemann anlamında integrallenebilir olsun. Eğer f in bir anti – türevi F ise yani, F

(x) = f(x) özelliğini sağlıyorsa bu taktirde,

f (x)dx = F(b) – F(a) dır.

İspat: [a, b] aralığının herhangi bir parçalanışı P olsun. Ortalama değer teoreminden dolayı

F(x ) – F(x ) = F (t ) (x -x ) olacak şekilde bir t  (x , x ) sayısı vardır. Hipotez gereğince (x) = f(x) olduğundan,

F(x ) – F(x ) = f(t ) (x -x ) dir. Burada i =1 den n ye kadar toplam alınırsa

= elde ederiz. = F(b) – F(a)

olduğundan F(b) = F(a) -  olur. f fonksiyonu riemann anlamında integrallenebilir olduğundan F(b) – F(a) = = bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.

bu teorem ile belirli integralin belirsiz integral yardımı ile nasıl hesaplandığını görmüş olduk. Şimdi bunu örneklerle daha iyi görmeye çalışalım.

 Örnek 1:  dir. Çünkü x nin bir anti-türevi  dir.

Örnek 2:  dir.

 

Belirli integralin özellikleri:

1) integrali x değişkeninden bağımsızdır. Gerçekten:

= dir.

2) =  dir. Yani integralde a ve b sınırlarının yerleri değiştirilirse integral işareti değişir. Gerçekten:

= F(b) – F(a) = -[F(a) – F(b)]=-

3) herhangi bir e sayısı için e (a,b) için,

= +  dir. Gerçekten:

= F(b) – F(a) =[F(a) – F(b)] + [F(b) -  F(e)]= +

4)  =0 dır. Çünkü  = F(a) – F(a)=0 dır.

Teorem: f[a,b] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyon olsun ve  =a, =b olmak üzere x =  ve  fonksiyonları [u  , u ] kapalı aralığında sürekli ve  fonksiyonu bu aralıkta monoton olsun bu taktirde ; =  dir.

İspat: eşitliğin sol tarafındaki f(x) in belirsiz integrali bilindiğini ve f(x) – C ye eşit olduğunu kabul edelim; bu taktirde,

= F(b) – F(a) olur.

 = F[  olduğundan ve a= , b=  olduğundan  olur ki bu da teoremin ispatını tamamlar.

Belirli integrali hesaplarken, değişken değiştirilmesi yapıldığından integral sınırlarını yeni değişkene göre yazmak yerine ilk değişkene dönülüp ilk değişkendeki sınırlar konulup integral hesaplanabilir. Bu aynı sonucu verir. Ancak daha fazla işlem yapmayı gerektirecektir.

            Belirli integralde x= (u) değişken değiştirilmesi ile değilde bazen u=  değişken değiştirilmesi ile yeni değişken eski değişken cinsinden ifade edilerek hesap yapılır. Bu durumda u  ve u  yeni integral sınırları

u =       ve              u  =  eşitliklerinden hemen bulunur.

            u=  fonksiyonu monoton olmadığı zaman bazı zorluklar ortaya çıkabilir. Bu durumda  in ters fonksiyonu yoktur. Bu durumda a ve b ye karşılık =  durumu ortaya çıkabilir. Örneğin u=cosx değişken değiştirmesi [- ] aralığında uygulandığı zaman böyle bir durum ortaya çıkar. Gerçekten u =cosu( ) =0 ve u =cost( )=0 dır. O halde u =  değişken değiştirilmesinin yapılabilmesi için ,[a,b] aralığında monoton olmakla beraber, bu aralıkta türevlenebilmeli ve türevi aralığı içinde hiçbir iç noktada 0 olmamalıdır. Bununla beraber fonksiyonunun [a,b] aralında belirli integrali [a,b] aralığını   ın monoton ve türevinin işaretinin aynı kaldığı alt aralıklara bölerek hesaplayabiliriz. (şüphesiz böyle alt aralıklar bulunabiliyorsa)

            belirli integrali hesaplarken , değişken değiştirmesi yapıldığında , integral sınırlarını yeni değişkene göre yazmak yerine ilk değişkene dönülüp , ilk değişkendeki sınırlar konulup integral hesaplanabilir. Bu aynı sonuç verir. Ancak daha fazla işlem yapmayı gerektirecektir.    Belirli integralde x = ( u ) değişken değiştirmesi ile değilde bazen u =  değişken değiştirmesi ile yeni değişken eski değişken cinsinden ifade edilerek hesap yapılır.Bu durumda u  ve u  yeni integral sınırları u         =  ve u =  eşitliklerinden hemen bulunur.

u =  fonksiyonu monoton olmadığı zaman bazı zorluklar ortaya çıkabilir, bu durumda           in ters fonksiyonu yoktur. Bu durumda a ve b ye karşılık  =  durumu ortaya çıkabilir. Örneğin u=cosx değişken değiştirmesi [- ] aralığında uygulandığı zaman böyle bir durum ortaya çıkar. Gerçekten u =cost ( )=0 ve u =cost( )=0 dır. O halde u=  değişken değiştirmesinin yapılabilmesi için , [a,b] aralığında monoton olmakla beraber, bu aralıkta türevlenebilmeli ve bu türevi aralığın içinde hiçbir iç noktada 0 olmamalıdır. Bununla beraber fonksiyonunun [a,b] aralığındaki belirli integrali [a,b] aralığını  ın monoton ve türevinin işaretinin aynı kaldığı alt aralıklara bölerek hesaplayabiliriz.