Özel Arama

Riemann Hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından formülize edilmiş çözülememiş problemlerden biridir.

Bazı sayıların kendilerinden küçük sayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, …) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı herhangi bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Bernhard Riemann, Asal sayıların sıklığının;

s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm Kompleks sayılar için

s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm Kompleks sayılar için

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …

biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranışına çok bağlı olduğunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasına göre

ζ(s) = 0

denkleminin tüm çözümleri düz bir çizgi üzerinde yer almaktadır. Yani bu denkleminin tüm komplex çözümlerinin reel kısımlarının 1/2 olduğu tahmin edilmektedir. Bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için test edilmiştir. Bu iddianın her çözüm için doğru olduğunun ispatlanabilmesi halinde asal sayıların dağılımı ile ilgili çok önemli bilgiler edinmek mümkün olacaktır.

Goldbach hipotezi

Sayılar teorisindeki en eski Matematik’te çözümsüz problemlerden biridir.

Sanı: Goldbach’ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler’e 7 Haziran 1742′de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor: …En azından 2‘den büyük her sayı üç asal sayının toplamıdır… Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı aslatam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları datam böler.)

Kuvvetli ikil varsayım, 3‘ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adlı yayın şirketi bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerıkan doları ödül vaadetmiştir, fakat sanı halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır. İkil sanı şöyledir:

ve için olacak şekilde ve asal sayıları vardır. ( olabilir) Her bir Goldbach bölüntüsü olarak adlandırılır.

Daha zayıf olan ikinci sanı sadece 8‘den büyük olan her tek doğal sayının en az 3 asal sayının toplamı olduğudur. Erdös ve Moser ve ‘nin asal olma koşulunu kaldırarak bu sanının daha genel anlamda doğru olup olmadığını araştırmışlardır.

Gödel’in Eksiklik Teoremi

Gödel’in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, bu sayede matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde ede bilecekti.

Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz (complete) değildir.
2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.

Cantor’un Köşegen Yöntemi

Georg Cantor’un doğal sayılar ile reel sayıların birebir eşlemesinin yapılamayacağını göstermek için geliştirdiği yöntem. Böyle bir eşlemenın varlığı sonsuz elemanlı kümelerin büyüklüklerinin karşılaştırılması kavramının gelişimi açısından son derece önemlidir.

İıÖötrtttr444twerrtertıÇ== Büyüklük ==

Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B’den A’ya bir birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır ( yazılır). Böylelikle B’nin bir kopyasının A’nın içersinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B’den de A’ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte denir ( yazılır).

• Örnek olarak Çift Tam Sayılar Kümesi’nin () ile Tam Sayılar Kümesi düşünülebilir. ‘nin elemanları ‘nin içersinde kendi kendilerine gönderilirse

İspat

Reel sayıların sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalık sayılar olarak yazılabileceği bilinir. Diyelim ki Cantor’un iddiası yanlış ve de reel sayılarla doğal sayılar birebir eşlenebiliyor. O zaman sadece 0 la 1 arasındaki reel sayılarla (bütün) doğal sayıları birebir eşlemek de mümkündür. Böyle bir eşlemeyi alalım ve 0 la 1 arasındaki reel sayıları verilen eşlemeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Şimdi 0 la 1 arasında öyle bir reel sayı kurgulayacağız ki bu sayının bu listede yer alması mümkün olmayacak. Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala göre oluşturalım: birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C’nin ikinci, üçüncü,… basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:

1) 0,13567…….      ^ 2) 0,25678…….       ^ 3) 0,00212…….        ^ 4) 0,14221…….         ^ .      .  . C sayısının ilk basamağının 1′den farklı, 2. basamağının 5′ten farklı, 3. basamağının 2′den farklı, 4. basamağının gene 2′den farklı birer rakam olarak seçeriz.

Bu noktada fark etmemiz gereken şey, C’nin kendisi bir reel sayı olduğu halde bu listede yer alan her sayıdan en az bir ondalık basamakta (daha doğrusu o sayı listemizde kaçıncı sırada yer alıyorsa o basamakta) farklı olduğu ve dolayısıyla bu listede yer alamayacağı. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla.

Pisagor Teoremi

Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY’da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor’a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.

Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid’in Elementler eserinde bulunabilir.Pisagor teoreminin tersi de doğrudur. Yani, Öklid geometrisinde, c2 = a2 + b2 ilişkisinin geçerli olduğu tüm üçgenler, dik üçgendir. a+b=c ıse 1+2=3

Teoremin Görsel Bir Kanıtı

Yukarıdaki şekilde, bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine çizilmiş bir kare ve bu karenin diğer üç kenarına çizilmiş, ilk dik üçgene eş dik üçgenler görülmektedir. Bu dört dik üçgen ve karenin birleşiminden ortaya çıkan şekil de bir karedir. Bu karenin alanı kenar uzunluğunun karesi A = (a + b)² A = a² + 2ab + b² ya da kareyi oluşturan şekillerin alanlarının toplamı A = 4(ab / 2) + c² A = 2ab + c² biçiminde yazılabilir. Bu iki ifade birbirine eşitlenip sadeleştirmeler yapıldıktan sonra a² + b² = c² elde edilir. Kanıtlanması istenen de buydu.

Ayrıca bu dik üçgende a<b<c, a tekse:

a² = b + c ve b ile c ardışık iki sayıdır.

a çiftse:

a² / 2 = b + c ve b ile c ardışık iki sayıdır.

İkiz Asallar Sanısı

Aralarındaki fark iki olan asal sayılardan (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31, veya 41 ve 43) sonsuz tane olduğunu öngeren konjektürdür. Sayılar Teorisi’nin en eski ve ünlü çözülememiş problemlerinden birisidir.