Özel Arama

DOĞRU ANALİTİĞİ Soru 1:Dik koordinat sisteminde A(m+3,n-1) noktası,IV. Bölgede ise B(m,n) noktası nedir? Çözüm: A(m+3,n-1) noktası IV. Bölgede ise m+3>0 ——- m > -3 n-1<0 —— n<1 =(-2,-1) Soru 2: A(-3,7) ve b(5,1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? Çözüm: |AB|=√ (-3-5)2+(7-1)2 =√64+36 = √100 =10 BİRİMDİR. Soru 3: A(-1,3) noktasını orjine göre uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: |OA|=√(-1)2+(3)2 = √1+9 =√10 Soru 4: Analitik düzlemde A(-2,1) ve b(4,5) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: Orta dikme doğrusu √(x+2)2(y-1)2 = √(x-4)2+(y-5)2 x2+4x+4+y2-2y+1=x2-8x+16+y2-10y+25 A(-2,1) B(4,5) 4x-2y+5=-8x-10y+41 3x+2y-9=0 C(x,y) Soru 5: A(1,4) ve B(3,-10) noktaları veriliyor.|AB| ‘nin orta noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: |AB|’nin orta noktası C(x0 , y0) olsun. x0 = 1 + 3 = 2 y0 = 4 – 10 = -3 olup. 2 2 C(2,-3)noktasının orjine uzaklığı; |OC|=√22+(-3)2 = √13 BİRİMDİR. Soru 6: Köşelerinin koordinatları; A(6,7), B(-1,2) C(7,4) olan üçgenin Va kenarortay uzunluğu kaçtır? Çözüm: |BC|’nin orta noktası D(x0,y0) ise; x0= -1+7 = 3 2 y0= 2+4 = 3 olur. 2 Buna göre, Va = |AD| = √(6-3)2+(7-3)2 = √9+16 =5 olur. Soru 7: Köşe noktalarının koordinatları,A(-4,5) , B(-2,7) , C(6,10) , D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? Çözüm: -4+6 = -2 + a a = 4 5+10 = 7+b b = 8 a + b=4+8 =12 olur. Soru 8: A(5,-2) ve B(-3,4) noktaları veriliyor. |AC| = 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal |BC| C(x0,y0) noktasının koordinatları nedir? Çözüm: A(5,-2),B-3,4) ve k = 3 olduğundan: 5-3(-3) -2-3.4 x0= = -7 ve y0= = 7 1-3 1-3 bulunur ve böylece C(x0,y0) = C(-7,7) elde edilir. Soru 9: Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(5,4),B(-1,2) ve C(a,b) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G(4,3) ise a+b kaçtır? Çözüm: 4 = 5-1+a a = 8 , 3 = 4+2+b b = 3 3 3 buradan a+b = 8+3 = 11 olur. Soru 10: Köşe noktalarının koordinatları A(-2,6) B(3,-1 ve C(4,5) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? Cevap 10: -2 6 3 -1 4 5 A(ABC)= 1 . -2 6 = 1 |2+15+24-18-(-4)-(-10)| = 37 2 2 2 Soru 11: A(1,-2) ve B(p,3) noktalarından geçen doğru Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yaptığına göre p kaçtır? Çözüm: a = 45 m = tan 45 = 1 3-(-2) 5 1=──── = ── 5=p-1 p = 6 olur. p-1 p-1 Soru 12: A(-2,3) , B(1,-3) , C(5,1) ve D(1,k) noktaları veriliyor.AB // CD ise k sayısı kaçtır? Çözüm: AB // CD olduğundan bu doğruların Ox ekseni ile yaptığı açılar ve dolayısıyla bu doğruların eğimleri birbirine eşittir. -3-3 k-1 mAB = mCD ───── = ─── k=9 olur. 1-(-2) 1-5 Soru 13: A(2p-1,4) ve B(p+3,2) noktalarından geçen doğru Ox eksenine dik ise P kaçtır? Çözüm: 2-4 a = 90 m = ∞ = ──────── p+3-(2p-1) -2 ∞ = ──── -p+4 = 0 p=4 olur. -p+4 Soru 14: Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (-2,1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm: a = 45 m = tan45 = 1 Eğimi, m = 1 olan A(-2,1) noktasından geçen doğru denklemi; y-1 = 1(x+2) y-x-3 = 0 olur. Soru 14: Eğimi -3 olan ve A(-1,2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm Doğrunun eğimi -3 olduğundan denklem y = -3x+n şeklindedir.Ve doğru A(1,-2) noktasından geçtiği için A(1,-2) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.Buna göre,-2 = -3.1+n n = 1 elde edilir.Ve doğru denklemi y = -3x+1 şeklinde bulunmuş olur. Soru 15: A(-3,2) ve b(1,-6) noktalarında geçen doğrunun denklemi nedir? Cevap: A(x1,y1) = A(-3,2) ve B(x2,y2) = B(1,6) olsun y-(-6) -6-2 y+6 ──── = ───── ──── = -2 y+6=-2(x-1) y+2x+4 = 0’ dır. x-1 1-(-3) x-1 Soru 15: Dik koordinat düzlemindeki d doğrusunun denklemi nedir? Çözüm: A(-2,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğru denklemi; x y ── + ── = 1 3x-2y+6 = 0‘dır. -2 3 Soru 16: y = 3x-6 denklemi ile verilen doğrunun grafiğini çiziniz. Çözüm: y y = 3x-6 denkleminde y = 3x-6 x = 0 y = -6;A(0,-6) y = 0 3x-6 = 0 x=2;b(2,0) A(0,-6)ve B(2,0) noktaları birleştirilirse x y = 3x-6 doğrusunun grafiği çizilmiş olur (2,0) (0,-6) Soru 17: 2x-y+4 = 0 ve x+y+2=0 doğrularının kesiştikleri nokta nedir? Çözüm: 2x-y+4 = 0 taraf tarafa toplama yapılırsa x+y+2 = 0 3x+6 = 0 x = -2 elde edilir. Denklemlerden herhangi birinde x = -2 yazılırsa y = 0 bulunur.Buna göre,bu iki doğru (-2,0) noktasında kesişirler. Soru 18: Dik koordinat düzleminde 2x-5y-4 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm: 2 4 2 2x-5y-4 = 0 y = ──x - ── olup,bu doğrunun eğimi m1=──’tir. 5 5 5 2 Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olacağından m2=── olmalıdır. 2 5 Buna göre,eğimi m2=── olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi; 5 2 y-4 = ── (x-3) 2x-5y+14 = 0 olur. 5 Soru 19: Analitik düzlemde; d1: (a-3)x+y-1 = 0 d2: (a+2)x-2y+5 = 0 doğruları veriliyor. d1 ile d2 doğruları birbirine paralel ise a kaçtır? Çözüm: Burada a1 = a-3 , b1 = 1 , a2 = a+2 a1 b1 Ve b2 = -2’dir.Paralel doğrularda ── = ── olacağından . a2 b2 a-3 1 ─── = - ── 2a-6 = -a -2 3a = 4 a+2 2 4 a = ── 3 Soru 20: Denklemleri (m+2)x+4y-2 = 0 ve 3x-(2n+1)y+1 = 0 olan doğrular çakışık ise m + n kaçtır? Çözüm: Doğruların çakışık olması için, m+2 4 -2 ──── = ───── = ── olmalıdır.Buna göre; 3 -(2n+1) 1 m+2 = -6 m = -8 1 1 -15 4n+2 = 4 n = ── m+n = -8 + ── = ── olur. 2 2 2 Soru 21: 2x+y-1 = 0 ve 3x+2y-6 = 0 doğruların kesiştiği noktadan geçen doğru demetinin denklemi nedir? Çözüm: 2x+y-1+k(3x+2y-6) = 0 (3k+2)x+(2k+1)y-6k-1 = 0’dır. Soru 22: (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0 denklemi ile verilen doğruların kesiştiği noktanın koordinatları nedir? Çözüm: (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0 -x+3y+1+k(2x+y+2) = 0 0+k.0 = 0 olduğundan, -x+3y+1 = 0 5 4 denkleminin sisteminin çözüm kümesi ( - ──,- ── )‘dir. 2x+y = 2 = 0 7 7 Soru 23: A(-2,3) noktasından geçen ve d1: 2x-y+1 = 0 doğrusuna dik olan d2 doğrusunun denklemi nedir? Çözüm: d1: 2x-y+1 = 0 m1 = 2 1 m1.m2 = -1 2.m2 = -1 m2 = - ── 2 1 Buna göre eğimi “m2 = - ── ” olan ve A(-2,3) noktasından geçen doğru denklemi; 2 1 y-3 = ── (x+2) 2y+x-4 = 0 bulunur. 2 Soru 24: d1: (m+2)x-2y+1 = 0 ve d2: 3x+(2m-1)y+2 = 0 denklemleri ile verilen doğrular birbirine dik ise m kaçtır? Çözüm: a1a2+b1b2 = 0 (m+2).3+(-2).(2m-1) = 0 -m+8 = 0 m = 8 1 Soru 25: Koordinat düzleminde d1: y = ── x-2 ve d2:-2x+y+1 = 0 doğruları arasındaki dar 3 açı kaç dercedir? Çözüm: 1 1 d1: y = ── x-2 m1 = ── 3 3 bu iki doğru arasındaki açı “v” olsun. d2: -2x+y+1 = 0 m2 = 2 m2-m1 tanv = ───── = 1 tanv = 1 v = 45 derecedir. 1+m2 Soru 26: Analitik düzlemde d1: √3 x – y +1 = 0 ve d2: x+y-2 = 0 doğruları arasındaki açı kaç derecedir? Çözüm: d1: √3 x-y+1 = 0 m1 = √3 a = 60 , m2 = -1 B = 135 2 Bu takdirde bu iki doğru arasındaki geniş 105 açı 105 derecedir. 1 75 60 135 1 2 ── √3 d2: x+y-2 = 0 Soru 27: Analitik düzlemde A(3,-2) noktasının -4x+3y+3 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: |-4.3+3(-2)+3| |-15| ───────── = ─── = 3 birimdir. √(-4)2+32 5 Soru 28: d1: 3x+y+2 = 0 ve d2: 6x+2y-16 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? Çözüm: Verilen her iki denklemde de x’in ve y’nin katsayıları eşitlenmelidir.Bunun için ya d1’in denklemi 2 ile çarpılmalı veya d2’nin denklemi 2 ile sadeleştirilmelidir. d1: 3x+y+2 = 0 c1 = 2 d2: 6x+2y-16 = 0 3x+2y-8 = 0 c2: -8 d1 d2 doğruları arasındaki uzaklık; |2-(-8)| 10 ──── = ─── = √10 birim. √32+12 √10 Soru 29: 2x+y-1 = 0 ve x-2y+7 = 0 denklemleri ile verilen doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açıortay doğrularıdır. 2x+y-1 x-2y+7 ────── = ───── √22+12 √12+(-2)2 2x+y-1 = x-2y+7 x+3y-8 = 0 2x+y-1 = -(x-2y+7) 3x-y+6 = 0 olur. Soru 30: Analitik düzlemde A(2,4) noktasının B(x,y) noktasına göre simetriği C(-2,6) noktası ise x+y değeri kaçtır? Çözüm: |AB| = |BC| olduğundan 2-2 4+6 x = ───── = 0 y = ───── = 0 2 2 olup x+y = 5 olur. Soru 31: Koordinat düzleminde A(4,-1) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,orjine göre simetriği C noktası ise ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? Çözüm: A(4,-1 ) noktasının Ox eksenine göre simetriği B(4,1) , orjine göre simetriği C(-4,1) noktası olduğundan |AB| =2br.,|BC| = 8 br olup 2.8 A(ABC) = ──── = 8 birim kare olur. 2 Soru 32: A(3,-2)noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği y = ax+3 doğrusu üzerinde bulunuyor ise a kaçtır? Çözüm: A(3,-2) noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği B(2,-3) olup, bu nokta y = ax+3 doğrusu üzerinde olduğundan ; -3 = 2a+3 a = -3 olur. Soru 33: A(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B noktası,B noktasının Oy eksenine göre simetriği C(2a,-3) noktası ise a+b kaçtır? Çözüm: A(a.b) noktasının, y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a);B(b,a) noktasının Oy eksenine göre simetriği C(-b,a) olur. C(-b,a) = C(2a,-3) a= -3 ve –b = 2a olur. b = 6 olup a+b = -3+6 = 3 bulunur. Soru 34: Dik koordinat sisteminde A noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B,B noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(-2,1) ise,A noktasının koordinatları nedir? Çözüm: A(a.b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a) , B(b,a) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(4-b,a) = C(-2,1) b = 6 ve a = 1 bulunur. Buna göre,A(a,b) = A(1,6) olur. Soru 35: A(-4,3) noktasının d doğrusuna göre simetriği B(2,-5) noktası ise A noktasının d doğrusuna uzaklığı nedir? Çözüm: |AB| = √(-4-5)2+(3+5)2 = 10 birim. |AB| 10 Buna göre,A noktasının d doğrusuna uzaklığı , ───── = ──── = 5 birimdir. 2 2 Soru 36: A(4,-2) noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği nedir? Çözüm: A(4,-2)noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği B(x2,y2) olsun. y2 + 2 ─────── * 2 = -1 2y2+x2 = 0…(1) x2-4 4+x2 -2+y2 y2 2 * ────── - ───── +1 = 0 x2 - ── = -6 …(2) 2 2 2 24 12 (1) ve (2) denkleminden x2 = - ── , y2 = ── olarak bulnur. 5 5 Soru 37: d1: 2x-y+7 = 0 doğrusunun eksenlere ve orjine göre simetrilerini bulunuz. Çözüm: d1: 2x-y+7 = 0 doğrusu için (x,y) Ox (x,-y) d1: 2x-y+7 = 0 d2 : 2x+y+7 = 0 (x,y) Oy (-x,y) d1:2x-y+7 = 0 Oy d3: -2x-y+7 = o (x,y) ORJİN(0.0) (-x,-y) d1: 2x-y+7 = 0 d 4:-2x+y+7 = 0 olur. a b-a Soru 38: Analitik düzlemde A( a, ── ) noktası IV. Bölgede ise B( 2b, ─── ) hangi b b bölgededir? Çözüm: a a A( a, ── ) noktası IV: bölgede olduğundan a > 0 ,── < 0 olup buradan b < 0 olur. b b b-a a > 0 , b < 0 2b < 0 , b-a < 0 ve ─── > 0 olur. b Bundan dolayı B noktasının apsisi negatif ordinatı pozitif olduğundan bu nokta II. bölgededir. Soru 39: Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koordinatları A(0,-1) , B(3,6) ve C(5,-2) olan ABC üçgeninde |BC| kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç birimdir? Çözüm: B(3,6) |BC| nin orta noktası D(x0,y0) olsun.Buna göre 3+5 6-2 x0 = ───── = 4 y0 = ──── = 2 olur. D(x0,y0) 2 2 Buna göre |BC| ye ait kenarortayın uzunluğu A(0,-1) C(5,-2) |AD| = √(4-0)2 + (2+1)2 = 5 birim olur. Soru 40: Dik koordinat düzleminde A(a,-1) , B(a+3,8) ve C(-3,a-1) noktalarının doğrusal olabilmesi için a kaç olmalıdır? Çözüm: ABC doğrusal ise eğimler eşit olur. mAB = mBC = mAC Bunlardan mAB = mBC yi kullanırsak. 8+1 a-9 9 mAB = mBC ───── = ──── a = - ── a+3-a -a-6 4 Soru 41: Analitik düzlemde A(1,2) ve B(2,5) noktalarının y = x doğrusu üzerindeki bir K noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre,K noktasının koordinatları nedir? Çözüm: y = x doğrusu üzerinde A(1,2) ve B(2,5) noktalarına 5 ————— B eşit uzaklıktaki nokta K(a,a) olsun. y = x A √(a,1)2 + (a-2)2 = √(a-2)2 + (5a-5)2 2 ——— K(a,a) (a-1)2 + (a-2)2 = (a-2)2 + (a-5)2 x a2 – 2a+1 = a2-10a+25 1 2 -2a+10a = 25-1 8a = 24 a = 3 K(3,3) olur. Soru 42: Dik koordinat düzleminde A(-4,1) ve B(4,3) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: 3-1 2 1 AB doğrusunun eğimi mAB = ── = ── = ── 4+4 8 4 A(-4,1) C(0,2) B(4,3) AB ┴ d olduğunda mAB.md = -1 olduğundan 1 ── . md = -1 md = -4 4 |AB| doğru parçasının orta noktasının -4+4 koordinatları Xc = ──── = 0 2 1+3 Yc = ─── = 2 C(0,2) olduğundan; 2 Soru 43: Analitik düzlemde A(1,7) ve B(7,5) noktaları veriliyor.Buna göre,O ekseni üzerinde,|AK| + |KB| en küçük olabilecek şekilde K(x0,0) noktasının apsisi kaçtır? Çözüm: B noktasının Ox eksenine göre simetriği Bı noktası olsun. Bu durumda |KB| = |KBı| ve dolayısıyla |AK| + |KB| = |AK| + |KBı| olur. |AK| +|KB| nin en küçük olması demek |AK| + |KBı| toplamının en küçük olması demektir.Bunun için ise A.K ve Bı noktalarının doğrusal olması gerekir.Buna göre; 0-5 -5-0 9 mAK = mKBı ─── = ─── x0 = ── = 4,5 olur. x0-1 7-x0 2 Soru 44: Analitik düzlemde A(-3,4) ve B(1,8) noktaları ve Ox ekseni üzerinde değişken bir C(a,0) noktası veriliyor. │|AC| - |BC| │ en küçük değeri aldığında C noktasının apsisi “a” kaçtır? Çözüm: │|AC|-|BC|│ nin en küçük olması |AC| = |BC| olmasıyla mümkündür.Buna göre; √(a+3)2 + (0-4)2 = √(a-1)2 + (0-8)2 a2+6a+25 = a2-2a+65 8a = 40 a = 5 olur.