Özel Arama

Analitik geometri (Osmanlıca Tahlili hendese, Fransızca Géometri analytique), Geometrik çalışmaya cebrik analizi tatbik eden ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramları kullanan bir matematik dalı. Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanılmasıyla mümkündür. Kartezyen kelimesi, batıda analitik geometride ilk ilmi çalışmayı yapan René Descartes’tan gelmektedir. Yazının Devamını Oku »

DOĞRU ANALİTİĞİ Soru 1:Dik koordinat sisteminde A(m+3,n-1) noktası,IV. Bölgede ise B(m,n) noktası nedir? Çözüm: A(m+3,n-1) noktası IV. Bölgede ise m+3>0 ——- m > -3 n-1<0 —— n<1 =(-2,-1) Soru 2: A(-3,7) ve b(5,1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? Çözüm: |AB|=√ (-3-5)2+(7-1)2 =√64+36 = √100 =10 BİRİMDİR. Soru 3: A(-1,3) noktasını orjine göre uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: |OA|=√(-1)2+(3)2 = √1+9 =√10 Soru 4: Analitik düzlemde A(-2,1) ve b(4,5) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: Orta dikme doğrusu √(x+2)2(y-1)2 = √(x-4)2+(y-5)2 x2+4x+4+y2-2y+1=x2-8x+16+y2-10y+25 A(-2,1) B(4,5) 4x-2y+5=-8x-10y+41 3x+2y-9=0 C(x,y) Soru 5: A(1,4) ve B(3,-10) noktaları veriliyor.|AB| ‘nin orta noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: |AB|’nin orta noktası C(x0 , y0) olsun. x0 = 1 + 3 = 2 y0 = 4 – 10 = -3 olup. 2 2 C(2,-3)noktasının orjine uzaklığı; |OC|=√22+(-3)2 = √13 BİRİMDİR. Soru 6: Köşelerinin koordinatları; A(6,7), B(-1,2) C(7,4) olan üçgenin Va kenarortay uzunluğu kaçtır? Çözüm: |BC|’nin orta noktası D(x0,y0) ise; x0= -1+7 = 3 2 y0= 2+4 = 3 olur. 2 Buna göre, Va = |AD| = √(6-3)2+(7-3)2 = √9+16 =5 olur. Soru 7: Köşe noktalarının koordinatları,A(-4,5) , B(-2,7) , C(6,10) , D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? Çözüm: -4+6 = -2 + a a = 4 5+10 = 7+b b = 8 a + b=4+8 =12 olur. Soru 8: A(5,-2) ve B(-3,4) noktaları veriliyor. |AC| = 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal |BC| C(x0,y0) noktasının koordinatları nedir? Çözüm: A(5,-2),B-3,4) ve k = 3 olduğundan: 5-3(-3) -2-3.4 x0= = -7 ve y0= = 7 1-3 1-3 bulunur ve böylece C(x0,y0) = C(-7,7) elde edilir. Soru 9: Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(5,4),B(-1,2) ve C(a,b) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G(4,3) ise a+b kaçtır? Çözüm: 4 = 5-1+a a = 8 , 3 = 4+2+b b = 3 3 3 buradan a+b = 8+3 = 11 olur. Soru 10: Köşe noktalarının koordinatları A(-2,6) B(3,-1 ve C(4,5) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? Cevap 10: -2 6 3 -1 4 5 A(ABC)= 1 . -2 6 = 1 |2+15+24-18-(-4)-(-10)| = 37 2 2 2 Soru 11: A(1,-2) ve B(p,3) noktalarından geçen doğru Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yaptığına göre p kaçtır? Çözüm: a = 45 m = tan 45 = 1 3-(-2) 5 1=──── = ── 5=p-1 p = 6 olur. p-1 p-1 Soru 12: A(-2,3) , B(1,-3) , C(5,1) ve D(1,k) noktaları veriliyor.AB // CD ise k sayısı kaçtır? Çözüm: AB // CD olduğundan bu doğruların Ox ekseni ile yaptığı açılar ve dolayısıyla bu doğruların eğimleri birbirine eşittir. -3-3 k-1 mAB = mCD ───── = ─── k=9 olur. 1-(-2) 1-5 Soru 13: A(2p-1,4) ve B(p+3,2) noktalarından geçen doğru Ox eksenine dik ise P kaçtır? Çözüm: 2-4 a = 90 m = ∞ = ──────── p+3-(2p-1) -2 ∞ = ──── -p+4 = 0 p=4 olur. -p+4 Soru 14: Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (-2,1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm: a = 45 m = tan45 = 1 Eğimi, m = 1 olan A(-2,1) noktasından geçen doğru denklemi; y-1 = 1(x+2) y-x-3 = 0 olur. Soru 14: Eğimi -3 olan ve A(-1,2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm Doğrunun eğimi -3 olduğundan denklem y = -3x+n şeklindedir.Ve doğru A(1,-2) noktasından geçtiği için A(1,-2) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.Buna göre,-2 = -3.1+n n = 1 elde edilir.Ve doğru denklemi y = -3x+1 şeklinde bulunmuş olur. Soru 15: A(-3,2) ve b(1,-6) noktalarında geçen doğrunun denklemi nedir? Cevap: A(x1,y1) = A(-3,2) ve B(x2,y2) = B(1,6) olsun y-(-6) -6-2 y+6 ──── = ───── ──── = -2 y+6=-2(x-1) y+2x+4 = 0’ dır. x-1 1-(-3) x-1 Soru 15: Dik koordinat düzlemindeki d doğrusunun denklemi nedir? Çözüm: A(-2,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğru denklemi; x y ── + ── = 1 3x-2y+6 = 0‘dır. -2 3 Soru 16: y = 3x-6 denklemi ile verilen doğrunun grafiğini çiziniz. Çözüm: y y = 3x-6 denkleminde y = 3x-6 x = 0 y = -6;A(0,-6) y = 0 3x-6 = 0 x=2;b(2,0) A(0,-6)ve B(2,0) noktaları birleştirilirse x y = 3x-6 doğrusunun grafiği çizilmiş olur (2,0) (0,-6) Soru 17: 2x-y+4 = 0 ve x+y+2=0 doğrularının kesiştikleri nokta nedir? Çözüm: 2x-y+4 = 0 taraf tarafa toplama yapılırsa x+y+2 = 0 3x+6 = 0 x = -2 elde edilir. Denklemlerden herhangi birinde x = -2 yazılırsa y = 0 bulunur.Buna göre,bu iki doğru (-2,0) noktasında kesişirler. Soru 18: Dik koordinat düzleminde 2x-5y-4 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm: 2 4 2 2x-5y-4 = 0 y = ──x - ── olup,bu doğrunun eğimi m1=──’tir. 5 5 5 2 Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olacağından m2=── olmalıdır. 2 5 Buna göre,eğimi m2=── olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi; 5 2 y-4 = ── (x-3) 2x-5y+14 = 0 olur. 5 Soru 19: Analitik düzlemde; d1: (a-3)x+y-1 = 0 d2: (a+2)x-2y+5 = 0 doğruları veriliyor. d1 ile d2 doğruları birbirine paralel ise a kaçtır? Çözüm: Burada a1 = a-3 , b1 = 1 , a2 = a+2 a1 b1 Ve b2 = -2’dir.Paralel doğrularda ── = ── olacağından . a2 b2 a-3 1 ─── = - ── 2a-6 = -a -2 3a = 4 a+2 2 4 a = ── 3 Soru 20: Denklemleri (m+2)x+4y-2 = 0 ve 3x-(2n+1)y+1 = 0 olan doğrular çakışık ise m + n kaçtır? Çözüm: Doğruların çakışık olması için, m+2 4 -2 ──── = ───── = ── olmalıdır.Buna göre; 3 -(2n+1) 1 m+2 = -6 m = -8 1 1 -15 4n+2 = 4 n = ── m+n = -8 + ── = ── olur. 2 2 2 Soru 21: 2x+y-1 = 0 ve 3x+2y-6 = 0 doğruların kesiştiği noktadan geçen doğru demetinin denklemi nedir? Çözüm: 2x+y-1+k(3x+2y-6) = 0 (3k+2)x+(2k+1)y-6k-1 = 0’dır. Soru 22: (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0 denklemi ile verilen doğruların kesiştiği noktanın koordinatları nedir? Çözüm: (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0 -x+3y+1+k(2x+y+2) = 0 0+k.0 = 0 olduğundan, -x+3y+1 = 0 5 4 denkleminin sisteminin çözüm kümesi ( - ──,- ── )‘dir. 2x+y = 2 = 0 7 7 Soru 23: A(-2,3) noktasından geçen ve d1: 2x-y+1 = 0 doğrusuna dik olan d2 doğrusunun denklemi nedir? Çözüm: d1: 2x-y+1 = 0 m1 = 2 1 m1.m2 = -1 2.m2 = -1 m2 = - ── 2 1 Buna göre eğimi “m2 = - ── ” olan ve A(-2,3) noktasından geçen doğru denklemi; 2 1 y-3 = ── (x+2) 2y+x-4 = 0 bulunur. 2 Soru 24: d1: (m+2)x-2y+1 = 0 ve d2: 3x+(2m-1)y+2 = 0 denklemleri ile verilen doğrular birbirine dik ise m kaçtır? Çözüm: a1a2+b1b2 = 0 (m+2).3+(-2).(2m-1) = 0 -m+8 = 0 m = 8 1 Soru 25: Koordinat düzleminde d1: y = ── x-2 ve d2:-2x+y+1 = 0 doğruları arasındaki dar 3 açı kaç dercedir? Çözüm: 1 1 d1: y = ── x-2 m1 = ── 3 3 bu iki doğru arasındaki açı “v” olsun. d2: -2x+y+1 = 0 m2 = 2 m2-m1 tanv = ───── = 1 tanv = 1 v = 45 derecedir. 1+m2 Soru 26: Analitik düzlemde d1: √3 x – y +1 = 0 ve d2: x+y-2 = 0 doğruları arasındaki açı kaç derecedir? Çözüm: d1: √3 x-y+1 = 0 m1 = √3 a = 60 , m2 = -1 B = 135 2 Bu takdirde bu iki doğru arasındaki geniş 105 açı 105 derecedir. 1 75 60 135 1 2 ── √3 d2: x+y-2 = 0 Soru 27: Analitik düzlemde A(3,-2) noktasının -4x+3y+3 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? Çözüm: |-4.3+3(-2)+3| |-15| ───────── = ─── = 3 birimdir. √(-4)2+32 5 Soru 28: d1: 3x+y+2 = 0 ve d2: 6x+2y-16 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? Çözüm: Verilen her iki denklemde de x’in ve y’nin katsayıları eşitlenmelidir.Bunun için ya d1’in denklemi 2 ile çarpılmalı veya d2’nin denklemi 2 ile sadeleştirilmelidir. d1: 3x+y+2 = 0 c1 = 2 d2: 6x+2y-16 = 0 3x+2y-8 = 0 c2: -8 d1 d2 doğruları arasındaki uzaklık; |2-(-8)| 10 ──── = ─── = √10 birim. √32+12 √10 Soru 29: 2x+y-1 = 0 ve x-2y+7 = 0 denklemleri ile verilen doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açıortay doğrularıdır. 2x+y-1 x-2y+7 ────── = ───── √22+12 √12+(-2)2 2x+y-1 = x-2y+7 x+3y-8 = 0 2x+y-1 = -(x-2y+7) 3x-y+6 = 0 olur. Soru 30: Analitik düzlemde A(2,4) noktasının B(x,y) noktasına göre simetriği C(-2,6) noktası ise x+y değeri kaçtır? Çözüm: |AB| = |BC| olduğundan 2-2 4+6 x = ───── = 0 y = ───── = 0 2 2 olup x+y = 5 olur. Soru 31: Koordinat düzleminde A(4,-1) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,orjine göre simetriği C noktası ise ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? Çözüm: A(4,-1 ) noktasının Ox eksenine göre simetriği B(4,1) , orjine göre simetriği C(-4,1) noktası olduğundan |AB| =2br.,|BC| = 8 br olup 2.8 A(ABC) = ──── = 8 birim kare olur. 2 Soru 32: A(3,-2)noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği y = ax+3 doğrusu üzerinde bulunuyor ise a kaçtır? Çözüm: A(3,-2) noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği B(2,-3) olup, bu nokta y = ax+3 doğrusu üzerinde olduğundan ; -3 = 2a+3 a = -3 olur. Soru 33: A(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B noktası,B noktasının Oy eksenine göre simetriği C(2a,-3) noktası ise a+b kaçtır? Çözüm: A(a.b) noktasının, y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a);B(b,a) noktasının Oy eksenine göre simetriği C(-b,a) olur. C(-b,a) = C(2a,-3) a= -3 ve –b = 2a olur. b = 6 olup a+b = -3+6 = 3 bulunur. Soru 34: Dik koordinat sisteminde A noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B,B noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(-2,1) ise,A noktasının koordinatları nedir? Çözüm: A(a.b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a) , B(b,a) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(4-b,a) = C(-2,1) b = 6 ve a = 1 bulunur. Buna göre,A(a,b) = A(1,6) olur. Soru 35: A(-4,3) noktasının d doğrusuna göre simetriği B(2,-5) noktası ise A noktasının d doğrusuna uzaklığı nedir? Çözüm: |AB| = √(-4-5)2+(3+5)2 = 10 birim. |AB| 10 Buna göre,A noktasının d doğrusuna uzaklığı , ───── = ──── = 5 birimdir. 2 2 Soru 36: A(4,-2) noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği nedir? Çözüm: A(4,-2)noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği B(x2,y2) olsun. y2 + 2 ─────── * 2 = -1 2y2+x2 = 0…(1) x2-4 4+x2 -2+y2 y2 2 * ────── - ───── +1 = 0 x2 - ── = -6 …(2) 2 2 2 24 12 (1) ve (2) denkleminden x2 = - ── , y2 = ── olarak bulnur. 5 5 Soru 37: d1: 2x-y+7 = 0 doğrusunun eksenlere ve orjine göre simetrilerini bulunuz. Çözüm: d1: 2x-y+7 = 0 doğrusu için (x,y) Ox (x,-y) d1: 2x-y+7 = 0 d2 : 2x+y+7 = 0 (x,y) Oy (-x,y) d1:2x-y+7 = 0 Oy d3: -2x-y+7 = o (x,y) ORJİN(0.0) (-x,-y) d1: 2x-y+7 = 0 d 4:-2x+y+7 = 0 olur. a b-a Soru 38: Analitik düzlemde A( a, ── ) noktası IV. Bölgede ise B( 2b, ─── ) hangi b b bölgededir? Çözüm: a a A( a, ── ) noktası IV: bölgede olduğundan a > 0 ,── < 0 olup buradan b < 0 olur. b b b-a a > 0 , b < 0 2b < 0 , b-a < 0 ve ─── > 0 olur. b Bundan dolayı B noktasının apsisi negatif ordinatı pozitif olduğundan bu nokta II. bölgededir. Soru 39: Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koordinatları A(0,-1) , B(3,6) ve C(5,-2) olan ABC üçgeninde |BC| kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç birimdir? Çözüm: B(3,6) |BC| nin orta noktası D(x0,y0) olsun.Buna göre 3+5 6-2 x0 = ───── = 4 y0 = ──── = 2 olur. D(x0,y0) 2 2 Buna göre |BC| ye ait kenarortayın uzunluğu A(0,-1) C(5,-2) |AD| = √(4-0)2 + (2+1)2 = 5 birim olur. Soru 40: Dik koordinat düzleminde A(a,-1) , B(a+3,8) ve C(-3,a-1) noktalarının doğrusal olabilmesi için a kaç olmalıdır? Çözüm: ABC doğrusal ise eğimler eşit olur. mAB = mBC = mAC Bunlardan mAB = mBC yi kullanırsak. 8+1 a-9 9 mAB = mBC ───── = ──── a = - ── a+3-a -a-6 4 Soru 41: Analitik düzlemde A(1,2) ve B(2,5) noktalarının y = x doğrusu üzerindeki bir K noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre,K noktasının koordinatları nedir? Çözüm: y = x doğrusu üzerinde A(1,2) ve B(2,5) noktalarına 5 ————— B eşit uzaklıktaki nokta K(a,a) olsun. y = x A √(a,1)2 + (a-2)2 = √(a-2)2 + (5a-5)2 2 ——— K(a,a) (a-1)2 + (a-2)2 = (a-2)2 + (a-5)2 x a2 – 2a+1 = a2-10a+25 1 2 -2a+10a = 25-1 8a = 24 a = 3 K(3,3) olur. Soru 42: Dik koordinat düzleminde A(-4,1) ve B(4,3) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: 3-1 2 1 AB doğrusunun eğimi mAB = ── = ── = ── 4+4 8 4 A(-4,1) C(0,2) B(4,3) AB ┴ d olduğunda mAB.md = -1 olduğundan 1 ── . md = -1 md = -4 4 |AB| doğru parçasının orta noktasının -4+4 koordinatları Xc = ──── = 0 2 1+3 Yc = ─── = 2 C(0,2) olduğundan; 2 Soru 43: Analitik düzlemde A(1,7) ve B(7,5) noktaları veriliyor.Buna göre,O ekseni üzerinde,|AK| + |KB| en küçük olabilecek şekilde K(x0,0) noktasının apsisi kaçtır? Çözüm: B noktasının Ox eksenine göre simetriği Bı noktası olsun. Bu durumda |KB| = |KBı| ve dolayısıyla |AK| + |KB| = |AK| + |KBı| olur. |AK| +|KB| nin en küçük olması demek |AK| + |KBı| toplamının en küçük olması demektir.Bunun için ise A.K ve Bı noktalarının doğrusal olması gerekir.Buna göre; 0-5 -5-0 9 mAK = mKBı ─── = ─── x0 = ── = 4,5 olur. x0-1 7-x0 2 Soru 44: Analitik düzlemde A(-3,4) ve B(1,8) noktaları ve Ox ekseni üzerinde değişken bir C(a,0) noktası veriliyor. │|AC| - |BC| │ en küçük değeri aldığında C noktasının apsisi “a” kaçtır? Çözüm: │|AC|-|BC|│ nin en küçük olması |AC| = |BC| olmasıyla mümkündür.Buna göre; √(a+3)2 + (0-4)2 = √(a-1)2 + (0-8)2 a2+6a+25 = a2-2a+65 8a = 40 a = 5 olur.