Türev
(Türev)başlığı altına BLACK tarafından 19-11-2007 de eklendi

Diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevi

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f’ sembolüyle gösterilir. Ayrıca

\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)

formülü de bu durumu ifade etmek için kullanılır..

 

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri

  • Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için f(x) = xn fonksiyonu,

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Bu eşitlik Binom Teoremi‘nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )

\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)

ex fonksiyonu,

\frac{d}{dx}e^x=e^x

Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar [değiştir]

  • Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0′da türevi tanımlayan

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

  • \sqrt[3]{x} fonksiyonu da 0′da türevli olmayıp başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0′da türevlenebilir olmayışının nedeni

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0+h}-\sqrt[3]{0}}{h}

limitinin \infty, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, \sqrt[3]{x} fonksiyonunun grafiği 0′da da kırılmasızdır.

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

  • (f + g)’(a) = f’(a)+ g’(cf)’(a) = cf’(a),

  • (fg)’(a) = f’(a)g(a) + g’(a)f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),

  • (f o g)’(a) = f’(g(a)) x g’(a) (Zincir kuralı olarak bilinir).

  • (f/g)’(a) = [f'(a)g(a) - g'(a)f(a)]/g²(a) (Fark Kuralı),

  • Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f’ , f fonksiyonunun türeviyse ve de f”, f’ fonksiyonunun türeviyse o zaman f” fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.

  • Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.

  • Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türev makalesinde bulunabilir

Türevin Uygulamaları [değiştir]

  • f fonksiyonunun a noktasında türevi, f’nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.

  • Taylor Açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.

  • Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin Diferensiyel Denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.

 

Çarpma kural

Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

\frac{d}{dx}(fg) = \left(\frac{df}{dx} \right )g + f\left( \frac{dg}{dx}\right )

İspat

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa

\begin{alignat}{4} \frac{d}{dx}(fg) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & = \lim_{h \to 0} g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & = g(x)f'(x) + f(x)g'(x)\\ \end{alignat}

Bölme Kuralı:

Bölme kuralı, iki fonksiyonun bölümünün türevinin hesaplanmasında kullanılır. Daha genel olan çarpma kuralının özel bir durumudur. f(x) ve g(x) fonksiyonlarının kapalı temsili olan f ve g ifadeleri için bölüm kuralı şu şekildedir.

\frac{d}{dx} \left (\frac{f}{g} \right ) = \frac{f'g - fg'}{g^2}

ispat:

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

\begin{alignat}{4} \frac{d}{dx}(fg^{-1}) & = f'g^{-1} + f (g^{-1})' \\ & = f'g^{-1} + f(-1)g^{-2}g' \\ & = \frac{g^2}{g^2} \left (f'g^{-1} - fg^{-2}g' \right )\\ & = \frac{f'g - fg'}{g^2}\\ \end{alignat}

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus (g^{-1})'\, türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Zincir kuralı:

Zincir kuralı bir değişkene bağlı bir fonksiyonun değişkeninin başka bir değişkene bağlı olması durumunda türevinin:\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx} şeklinde yazılabilmesidir [u = u(x)]. Diğer gösterimleri ise

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x),\, ve

\frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x). şeklindedir

Örnek A [değiştir]

f(x) = sin(x3) ifadesi f(x) = h(g(x)) olarak yazılabilir. Burada h(x) = sin(x) ve g(x) = x3 olarak tanımlıdır. Zincir kuralı uygulanırsa f fonksiyonunun türevi:

\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}h(g(x))=h'(g(x))g'(x) olarak yazılabilir. Türevler yerine koyulursa

\frac{df}{dx}=\cos(x^3)\cdot3x^2 sonucu bulunur.

Örnek B [değiştir]

f(u) = ln(u) ve u = sin(x) olarak verilsin. f fonksiyonunun x’ e göre değişimi zincir kuralı ile

\frac {df} {dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\cot(x) olarak bulunur

Yorum Yaz   
   Devamı

YORUMLAR

tuğçe on 13 Ocak, 2008 at 21:23 #

konularınız yetersiz.örnek istiyoruz


yalçın on 28 Şubat, 2008 at 22:42 #

türev günlük hayatta nerelerde kullanılır?


nily on 18 Mart, 2008 at 19:20 #

konularınız eksik


meltem on 30 Nisan, 2008 at 18:57 #

birazdaha örnek istiyoruzz


cetto on 10 Kasım, 2008 at 19:41 #

konular çok yetersiz


Yorum GÖNDER
Adınız:
Email:
Web Sayfanız:
Yorum: